Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La distancia $d$ entre estos dos puntos viene dada por $d^2=(b-a)^2+(P(b)-P(a))^2$. Dividiendo entre $(b-a)^2$ esta igualdad llegamos a que \[\left(\frac{d}{b-a}\right)^2=1+\left(\frac{P(b)-P(a)}{b-a}\right)^2.\] Es conocido que $P(b)-P(a)$ es un entero divisible entre $b-a$, por ser $P$ de coeficientes enteros, luego el miembro de la derecha de la igualdad anterior es entero y, por tanto, también es entero el de la izquierda. Por consiguiente, tenemos dos enteros cuadrados perfectos que difieren en una unidad, luego han de ser $0$ y $1$, es decir, \[\frac{d}{b-a}=\pm 1,\qquad \frac{P(b)-P(a)}{b-a}=0\] (el signo $\pm$ dependerá de si $b\gt a$ ó $b\lt a$). De aquí deducimos que $P(b)=P(a)$ y, por tanto, el segmento que une $(a,P(a))$ y $(b,P(b))$ es paralelo al eje de abscisas.