Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (ver la nota) a los números $x$ e $y$ (que se suponen positivos) con pesos $\mathrm{sen}^2(a)$ y $\cos^2(a)$ (que suman $1$) para obtener que \[x^{\mathrm{sen}^2(a)}\,y^{\cos^2(a)}\leq x\,\mathrm{sen}^2(a)+y\cos^2(a)\leq x+y.\] En la última desigualdad hemos usado que $\mathrm{sen}^2(a)\leq 1$ y $\cos^2(a)\leq 1$. Sin embargo, como $x,y\gt 0$ y no se puede cumplir que $\mathrm{sen}^2(a)=\cos^2(a)=1$, se tiene una desigualdad estricta, como queríamos probar.

Nota. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 0$ con pesos $w_1,w_2,\ldots,w_n\geq 0$ tales que $w_1+w_2+\ldots+w_n=1$ es la desigualdad \[x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}\leq w_1x_1+x_2w_2+\ldots+x_nw_n.\]