Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un hexágono regular tiene lado $1000$ y cada uno de sus lados se divide en $1000$ segmentos iguales de longitud $1$. Sea $S$ el conjunto formado por todos los vértices y los puntos de subdivisión. Se trazan todos los segmentos paralelos a los ejes que tienen extremos en puntos de $S$, de forma que el hexágono queda dividido en triángulos equiláteros de lado $1$. Sea $X$ el conjunto de los vértices de todos los triángulos. Podemos pintar cualesquiera tres puntos de $X$ que forman un triángulo equilátero (de cualquier tamaño) y repetir el proceso hasta que todos los elementos de $X$ menos uno estén pintados. Demostrar que el vértice que no se ha pintado no puede ser un vértice del hexágono original.