Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Para dar respuesta negativa con $2004$ fichas, numeremos todas las fichas consecutivamente con números del $1$ al $2004$ y hagamos tres subconjuntos: $A$ conteniendo las fichas múltiplo de $3$, $B$ las que tienen resto $1$ al dividir entre $3$ y $C$ las que tienen resto $2$ al dividir entre $3$. Supongamos también que la ficha negra está en $A$. Cada uno de estos subconjuntos tiene $668$ elementos y tienen la propiedad de que cualquier operación que hagamos afecta exactamente a una ficha de cada uno de los tres. Por tanto, cualquier operación cambia la paridad del número de fichas blancas en $A$, $B$ y $C$. Como inicialmente $A$ un número impar de piedras blancas y $B$ y $C$ tienen un número par, nunca podrá llegarse a que los tres tengan un número par. En otras palabras, $A$-$B$-$C$ tendrá una cantidad impar-par-par ó par-impar-impar de fichas blancas a lo largo de todo el proceso, y nunca podrá ser par-par-par (como correspondería a que todas las piedras fueran blancas).

El argumento anterior usa que $2004$ es múltiplo de $3$. Veamos que para $2003$ fichas sí se puede llegar a que todas sean blancas. Numeremos también las fichas consecutivamente del $1$ al $2003$ y supongamos que la negra inicial es la que ocupa la posición central $1002$. En primer lugar, elegimos la ficha $1002$ (es el único movimiento posible), convirtiendo $1001$ y $1003$ en negras y $1002$ en blanca. A continuación, hacemos la siguiente secuencia de elecciones:

• Elegimos las fichas $1003, 1004, ... 2003$ en este orden y después las fichas $1001,1000,...,1$ en este orden. De esta forma es fácil ver que llegamos a que todas son negras salvo la $1002$ que ahora es blanca, es decir, hemos invertido los colores.
• Finalmente, elegimos las fichas negras $1001$ y $1003$, de forma que ahora hay cinco fichas blancas (desde la $1000$ hasta la $1004$). Quedan $2003-5=1998$ fichas negras, que es un múltiplo de $3$. Ahora es fácil eliminar las $1998$ negras de tres en tres, resultando todas blancas, como se quería.