Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Alicia y Beto están jugando al juego del koala, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$, que ambos jugadores conocen. En el $n$-ésimo turno del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:

• Si $n$ es impar, Alicia elige un número real no negativo $x_n$ tal que $$x_1 + x_2 +\ldots+ x_n\leq\lambda n.$$
• Si $n$ es par, Beto elige un número real no negativo $x_n$ tal que $$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leq n.$$

Si uno de los jugadores ya no puede elegir un número $x_n$, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente, ninguno de los jugadores gana. Ambos jugadores siempre conocen los números elegidos. Determinar todos los valores de $\lambda$ para los cuales Alicia tiene una estrategia ganadora, y todos los valores de $\lambda$ para los cuales Beto tiene una estrategia ganadora.