Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Demostraremos que $P(1)=0$, lo que nos dirá que $x-1$ es un factor de $P(x)$. La idea en este problema es apelar a la igualdad $(x-1)(1+x+x^2+x^3+x^4)=x^5-1$, que nos dice que $1+x+x^2+x^3+x^4$ tiene cuatro raíces complejas que son las raíces quintas de la unidad (salvo 1). En particular, las soluciones de $1+x+x^2+x^3+x^4$ se pueden expresar como $\{z,z^2,z^3,z^4\}$, siendo $z$ un número complejo distinto de 1 y tal que $z^5=1$.

Evaluando la igualdad del enunciado en $\{z,z^2,z^3,z^4\}$, obtenemos que \begin{eqnarray*} P(1)+zQ(1)+z^2R(1)&=&0,\\ P(1)+z^2Q(1)+z^4R(1)&=&0,\\ P(1)+z^3Q(1)+z^6R(1)&=&0,\\ P(1)+z^4Q(1)+z^8R(1)&=&0.\\ \end{eqnarray*} Esto puede verse como un sistema de cuatro ecuaciones lineales con tres incógnitas ($P(1)$, $Q(1)$ y $R(1)$). La matriz de coeficientes está dada por \[A=\left(\begin{matrix}1&z&z^2\\1&z^2&z^4\\1&z^3&z^6\\1&z^4&z^8\end{matrix}\right).\] Si eliminamos la última fila, el determinante de la matriz $3\times 3$ resultante es igual a $z^8-2z^7+2z^5-z^4$. Si usamos que $z^5=1$, podemos simplificarlo a $-z^4+z^3-2z^2+2$ y, usando que $z^4=-z^3-z^2-z-1$, podemos simplificarlo finalmente a $2z^3-z^2+z+3$. Si hacemos el mismo proceso eliminando la primera fila en lugar de la última, llegamos a que el determinante de la matriz $3\times 3$ resultante es $2z^3-z^2+z-2$. Evidentemente, los dos determinantes no pueden ser cero simultáneamente ya que se diferencian en 5 unidades, lo que nos dice que la matriz $A$ tiene rango 3 y, por tanto, el sistema de ecuaciones tiene como única solución la trivial $P(1)=Q(1)=R(1)=0$. Esto concluye la demostración.