Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un entero con $n\gt 3$. Supongamos que elegimos tres números del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$. Usando cada uno de estos tres números una sola vez y empleando suma, multiplicación y paréntesis, formamos todas las combinaciones posibles.

1. Demostrar que si elegimos los tres números mayores que $\frac{n}{2}$, entonces los valores de estas combinaciones son todos distintos.
2. Sea $p$ un número primo tal que $p \leq \sqrt{n}$. Demostrar que el número de formas de elegir tres números de manera que el menor sea $p$ y los valores de las combinaciones no sean todos distintos es precisamente el número de divisores positivos de $p-1$.