Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen tres listas $A$, $B$ y $C$ de números enteros. La lista $A$ contiene números de la forma $10^k$ en base $10$, con $k \geq 1$. Las listas $B$ y $C$ contienen los mismos números escritos, respectivamente, en base 2 y en base 5. Por ejemplo: $$\begin{array}{c|c|c} A & B & C \\ \hline 10 & 1010 & 20 \\ 100 & 1100100 & 400 \\ 1000 & 1111101000 & 13000 \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$ Demostrar que para cada entero $n\gt 1$ hay exactamente un número que aparece en exactamente una de las listas $B$ o $C$ y que tiene exactamente $n$ dígitos (en su respectiva base).