Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si escribimos $b_n=a_n-(n-1)$, las desigualdades se escriben más fácilmente como \[2\sqrt{b_{1995}}\geq b_1+1,\qquad 2\sqrt{b_n}\geq b_{n+1}+1\quad (\text{para }1\leq n\leq 1994).\] Como tiene que ser $b_n\geq 0$ para que las raíces del enunciado estén bien definidas, podemos elevar al cuadrado y lo anterior equivale a \[b_{1995}\geq\frac{(b_1+1)^2}{4},\qquad b_n\geq\frac{(b_{n+1}+1)^2}{4}\quad (\text{para }1\leq n\leq 1994).\] Ahora observamos que $\frac{(x+1)^2}{4}\geq x$ para todo $x\in\mathbb{R}$, luego las desigualdades anteriores nos llevan finalmente a que \[b_{1995}\geq b_1\geq b_2\geq\ldots\geq b_{1994}\geq b_{1995},\] y de aquí a que la sucesión es constante. La igualdad en $\frac{(x+1)^2}{4}\geq x$ se da únicamente si $x=1$, luego la constante es $1$. Deshaciendo el cambio, tenemos que la única solución al enunciado es $a_n=n$ para todo $n=1,2,\ldots,1995$.