Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad del enunciado es equivalente a probar que \[a_0^3+4a_1^3-10a_2^3+4a_3^3+a_4^3\geq 0.\] Por la simetría del término de la izquierda, escribamos \[a_0=a-2d,\quad a_1=a-d,\quad a_2=a,\quad a_3=a+d,\quad a_4=a+2d.\] Sustituyendo y desarrollando los cubos tenemos que \[a_0^3+4a_1^3+4a_3^3+a_4^3-10a_2^3=(a-2d)^3+4(a-d)^3-10a^3+4(a+d)^3+(a+2d)^3=48ad^2,\] que evidentemente es positivo ya que $a=a_2\gt 0$ y $d\geq 0$.

Nota. La igualdad se alcanza si, y sólo si, $d=0$. La desigualdad sigue siendo cierta siempre que $a_2\geq 0$ (no es necesario que todos los términos sean positivos); de hecho, si $a_2\leq 0$, se obtiene una desigualdad en sentido contrario.