Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo rectángulo en $A_3$. Se define una sucesión de puntos mediante el siguiente proceso iterativo, donde $n$ es un número entero positivo. Desde $A_n$ ($n \geq 3$), se traza una perpendicular a la recta $A_{n-2}A_{n-1}$, que corta a dicha recta en $A_{n+1}$.

1. Demostrar que, si este proceso se continúa indefinidamente, existe un único punto $P$ que es interior a todos los triángulos $A_{n-2}A_{n-1}A_n$, $n \geq 3$.
2. Sean $A_1$ y $A_3$ puntos fijos. Considerando todas las posibles posiciones de $A_2$ en el plano, hallar el lugar geométrico de $P$.