Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En primer lugar, no es difícil probar que cada sumando $\frac{k}{x-k}$ es una función decreciente de $x$ que tiene una asíntota vertical en $x=k$, es negativa para $x\lt k$ y tiende a $0$ cuando $x\rightarrow+\infty$. Por lo tanto, la suma de todas ellas, $f(x)=\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}$ es también una función decreciente, tiene asíntotas verticales en $x=k$ para cada $k\in\{1,\ldots,70\}$, es negativa para $x\lt 1$ y tiende a cero cuando $x\rightarrow +\infty$. De aquí es fácil ver que el conjunto del que habla el enunciado está dado por \[S=(1,x_1]\cup (2,x_2]\cup\ldots\cup (70,x_{70}]\] para ciertos números reales $x_1,\ldots,x_{70}$ que cumplen que $k\lt x_k\lt k+1$. La suma de las longitudes de los intervalos que forman $S$ es \[L=(x_1-1)+(x_2-1)+\ldots+(x_{70}-1)=(x_1+\ldots+x_{70})-(1+2+\ldots+70).\]

Observemos que $x_1,\ldots,x_{70}$ no son otra cosa que las soluciones de la ecuación $f(x)=\frac{5}{4}$. Multiplicando esta ecuación por $(x-1)\cdots(x-70)$ la podemos expresar como \begin{eqnarray} &&(x-2)(x-3)\cdots(x-70)+2(x-1)(x-3)\cdots(x-70)+\ldots+70(x-1)\cdots(x-69)\\ &&\quad =\frac{5}{4}(x-1)\cdots(x-70). \end{eqnarray} Necesitamos encontrar la suma de las raíces de este polinomio de grado $70$, pero esto no es más que el coeficiente de grado $69$ entre el de grado $70$. Usando esta regla y con un poco de cuidado se calcula \[x_1+\ldots+x_{70}=\frac{9}{5}(1+2+\ldots+70).\] Tenemos entonces que la longitud buscada es \[L=\frac{4}{5}(1+\ldots+70)=\frac{4\cdot 70\cdot 71}{2\cdot 5}=1988.\]