Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos que $a_2=1$ y además podemos expresar \[a_1a_2\cdots a_{n+1}=a_1+a_2+\ldots +a_n=a_1a_2\cdots a_n+a_n,\] de donde obtenemos que \[a_{n+1}=1+\frac{1}{a_1a_2\cdots a_{n-1}}\quad\text{para todo }n\geq 2.\qquad(\star)\] Cómo todos los $a_n$ son positivos, esto nos dice que que $a_n\gt 1$ para todo $n\geq 3$. Además, tenemos que $a_1a_2a_3=a_1+1\gt 1$, luego deducimos que $a_1a_2\cdots a_{n-1}\gt 1$ para todo $n\geq 4$. Por lo tanto, $(\star)$ nos asegura que $1\lt a_n\lt 2$ para todo $n\geq 5$. Así, a lo sumo hay cuatro términos que son enteros en toda sucesión mapuche.

Para resolver así el problema, será suficiente encontrar una sucesión mapuche con cuatro términos enteros, para lo que tomamos $a_1=1, condición inicial que nos lleva a que $a_2=1$, $a_3=2$ y $a_4=2$.