Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pongamos coordenadas $(x_i,y_i)$ a cada moneda para $1\leq i\leq n^2$, siendo $(0,0)$ la casilla inferior izquierda y $(n^2,n^2)$ la de la casilla superior derecha. Tenemos entonces que las sumas \[S_x=\sum_{i=1}^{n^2}x_i,\qquad S_y=\sum_{i=1}^{n^2}y_i\] no cambian al hacer movimientos de cualquiera de los cuatro tipos. Si inicialmente las $n^2$ monedas se encuentran (todas ellas) en la casilla $(a,b)$, entonces comparando los valores de $S_x$ y $S_y$ con el momento en que todas las casillas tienen una moneda, obtenemos las igualdades \[an^2=bn^2=n(1+2+\ldots+n)=\tfrac{1}{2}n^2(n+1),\] de donde $a=b=\frac{n+1}{2}$. Esto nos dice que $n$ es impar y que la única posible posición inicial es la casilla central. Por lo tanto, supondremos que $n=2m+1$ para cierto entero positivo $m$ y cambiamos las coordenadas para que $(0,0)$ sea la casilla central, de forma que las casillas del tablero tienen coordenadas enteras $(x,y)$ con $-m\leq x,y\leq m$.

Consideramos ahora las siguientes sumas \[A=\sum_{i=1}^{n^2}x_i^2,\quad B=\sum_{i=1}^{n^2}y_i^2,\quad C=\sum_{i=1}^{n^2}(x_i+y_i)^2,\quad D=\sum_{i=1}^{n^2}(x_i-y_i)^2.\] Los movimientos de tipo II, III y IV incrementan $A$ en una unidad (puesto que $(x-1)^2+(x+1)^2=x^2+x^2+2$) mientras que los de tipo I lo dejan invariante. Análogamente, los movimientos de tipo I, III y IV incrementan $B$ en una unidad mientras que los de tipo II lo dejan invariante. La situación inicial es $A=B=0$ y la final también cumple $A=B$, luego tenemos que haber hecho tantos movimientos de tipos II-III-IV como movimientos de tipos I-III-IV. De aquí deducimos que se han hecho tantos movimientos de tipo I como de tipo II en el proceso (no nos piden esto pero será útil).

Los movimientos de tipo I y II incrementan $C$ y $D$ en $2$ unidades; los de tipo III incrementan $C$ en $4$ unidades y dejan $D$ invariante, y finalmente los de tipo IV dejan $C$ invariante e incrementan $D$ en $4$ unidades. Inicialmente tenemos $C=D=0$ y en el estado final tenemos también $C=D$ por simetría. Como se ha realizado el mismo número de movimientos de tipo I que de tipo II, también tendrá que haberse realizado el mismo número de movimientos de tipo III que de tipo IV.

Nota. El hecho de considerar las sumas y las sumas de los cuadrados está inspirado por la media y la varianza de los datos. Observemos que los cuatro tipos de movimientos dejan invariante las medias de las coordenadas (es decir, no cambian el centro de masa de las monedas), pero las van dispersando aumentando siempre la desviación. En la solución, hemos ido midiendo las varianzas de las desviaciones en las direcciones de los ejes y en las direcciones de las bisectrices de los cuadrantes.