Olimpiadas de Matemáticas
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Buscar problemas
En un determinado momento, el sultán dará la orden y, simultáneamente, cada mago dirá El color de mi sombrero es X
, donde X
es el color que quiera. Si al menos un mago dice una frase verdadera, todos los magos ganan y son libres; en otro caso, pierden. Antes de ser puestos en sus lugares y de recibir sus sombreros, los magos dispondrán de un tiempo para planear una estrategia, pero no podrán comunicarse después de esto. ¿Pueden asegurar la victoria sin importar lo que haga el sultán?
Piensa que cada mago dice su respuesta únicamente en función de los colores de los sombreros que ve; el resto de magos no le proporciona información con sus respuestas ya que todos las dan simultáneamente.
- El mago de la torre forma un número binario de $11$ dígitos, siendo el $i$-ésimo dígito igual a $0$ si los colores de los dos magos del pozo $i$ tienen la misma paridad y $1$ si estos tienen distinta paridad. Identifica este número con uno de los $2025$ colores y responde ese color. Si el número formado no se corresponde con ningún color (está entre $2025$ y $2047$), entonces responde un color aleatorio.
- En el pozo $i$, cada mago mira el dígito $i$-ésimo del número binario asignado al color del mago de la torre. Si el dígito es $0$, entonces el primer mago responde el color del segundo mago más $1$ y el segundo mago el color del primer mago más $1$ (módulo $4$); si, por el contrario, el dígito del mago de la torre es $1$, entonces el primer mago responde el mismo color del segundo mago y el segundo mago el color del primer mago más $2$ (módulo $4$). Esta estrategia presupone que los magos del pozo han elegido un orden entre ellos previamente.
De esta forma, si el mago de la torre no acierta, es porque necesariamente hay un pozo en el que la paridad de los colores de sus dos magos no coincide con la indicada por el correspondiente dígito del mago de la torre. La estrategia de los magos de dicho pozo barre todos los casos posibles en que esto ocurre, luego alguno de los dos debe acertar su color. Observemos que hay ocho posibles combinaciones de colores con igual/distinta paridad en el pozo, pero cada mago del pozo ve el color del otro mago, lo que realmente reduce las combinaciones a dos y cada mago explora una de ellas.
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