Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $A'$ y $B'$ las proyecciones de $A$ y $B$ sobre la recta $OP$ y consideremos el ángulo $\theta=\angle BOP=\angle AOA'$, de forma que $OA'=OB'=r\cos\theta$ y $AA'=BB'=r\operatorname{sen}\theta$. El teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos $AA'P$ y $BB'P$ nos dice que \begin{align*} PA^2&=(AA')^2+(A'P)^2=r^2\operatorname{sen}^2\theta+(OP+r\cos\theta)^2,\\ PB^2&=(BB')^2+(B'P)^2=r^2\operatorname{sen}^2\theta+(OP-r\cos\theta)^2. \end{align*} Sumando ambas expresiones tenemos que $PA^2+PB^2=2OP^2+2r^2$, que no depende de la cuerda trazada y hemos demostrado así el apartado (a).

En cuanto al apartado (b), el área de $ABP$ se calcula como \[\operatorname{Area}(ABP)=\frac{1}{2}AB\cdot AA'=\frac{1}{2}2r\cos\theta\cdot r\operatorname{sen}\theta=r^2\operatorname{sen}(2\theta).\] Esta área es máxima claramente cuando $\operatorname{sen}(2\theta)=1$, es decir, cuando $\theta=45^\circ$, en cuyo caso obtenemos la longitud $AB=2r\cos\theta=r\sqrt{2}$.