Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 2726
Si $a,b,c$ son números reales positivos, demostrar que
\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 3(b-c)(a-b).\]
¿Cuándo se verifica la igualdad?
pistasolución 1info
Pista. Pasa todo al miembro de la izquierda y factoriza.
Solución. Si pasamos todo al miembro de la izquierda y operamos, llegamos a la desigualdad equivalente $a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2\geq 0$, que no es otra cosa que
\[(a-2b+c)^2\geq 0.\]
Escrita de esta forma la desigualdad es evidente ya que cualquier número al cuadrado es mayor o igual que cero. Además, la igualdad se cumple si y sólo si $a-2b+c=0$, es decir, si $b$ es la media aritmética de $a$ y $c$.
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