Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como $2^{11}=2048\gt 1995$, está claro que $n=11$ es válido. Explícitamente, \[\frac{15}{17}-\frac{k}{2^{11}}=\frac{30720-17k}{17\cdot 2^{11}}=\frac{17(1087-k)+1}{17\cdot 2^{11}}=\frac{1}{17\cdot 2^{11}}\lt\frac{1}{1995}\] para $k=1807$. Vamos a ver que no es posible obtener un valor de $k$ para $n=10$ y, por tanto, tampoco será posible encontrarlo para $n\lt 10$ ya que cualquier número de la forma $\frac{k}{2^n}$ con $n\lt 10$ también es de la forma $\frac{k}{2^{10}}$. Repitiendo el proceso anterior que hicimos para $n=11$, tenemos que \[\frac{15}{17}-\frac{k}{2^{10}}=\frac{15360-17k}{17\cdot 2^{10}}=\frac{17(903-k)+9}{17\cdot 2^{10}}=\frac{903-k}{2^{10}}+\frac{9}{17\cdot 2^{10}}.\] Entonces, el valor de $k$ que minimiza la diferencia es $k=903$, pero para este valor dicha diferencia es $\frac{9}{17\cdot 2^{10}}\gt\frac{1}{1995}$.