Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En un torneo hay $n-1$ partidos que se podemos suponer que se juegan en un orden preestablecido, es decir, que ya están colocados en el calendario, uno cada día, antes incluso de decidir qué jugadores se enfrentan en la primera eliminatoria. De esta forma, podemos numerar los encuentros del $1$ al $n-1$. Numeramos también los jugadores del $1$ al $n$ y denotamos por $p_{ij}^k$ la probabilidad de que se enfrenten el jugador $i$ y el jugador $j$ en el partido $k$-ésimo. Como los jugadores se emparejan aleatoriamente y son igualmente hábiles, tendremos que $p_{ij}^k$ es una constante $p$ que no depende de $i$ ni de $j$ ni de $k$. Por tanto, se tiene que \[\binom{n}{2}(n-1)p=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i\lt j}p_{ij}^k=\sum_{k=1}^{n-1}1=n-1.\] De aquí deducimos que $p=\frac{2}{n(n-1)}$. Sin embargo, la probabilidad que nos piden no es que se enfrenten en un partido en concreto sino en cualquiera de ellos. Como no es posible enfrentarse más de una vez, el resultado que buscamos será el número de partidos multiplicado por la probabilidad de enfrentarse en uno de ellos, es decir, $(n-1)p=\frac{2}{n}$.