Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Los $8$ elementos forman un total de $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$ parejas de elementos. Ahora bien, un elemento dado no puede estar en cuatro o más subconjuntos ya que entonces habría dos de estos subconjuntos con otro elemento en común. Esto quiere decir que hay al menos $4$ de las $28$ parejas que no pertenece a ninguno de los subconjuntos, lo que hace un máximo de $24$ parejas que pueden estar en cada subconjunto. Como cada subconjunto tiene tres parejas de elementos, habrá un máximo de $8$ subconjuntos.

Será suficiente entonces encontrar ocho subconjuntos de tres elementos que cumplen la propiedad del enunciado, pero esto es ya sencillo tras probar un poco. Si el conjunto es $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, entonces podemos tomar los subconjuntos $\{1,2,3\}$, $\{3,4,5\}$, $\{5,6,7\}$, $\{7,8,1\}$, $\{1,4,6\}$, $\{3,6,8\}$, $\{5,8,2\}$ y $\{7,2,4\}$. Cada uno de ellos corta a otros $6$ y lo hace en un único elemento.