Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2748 problemas y 1042 soluciones.
Problema 2738
Sean $a,b,c$ tres números reales distintos y $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales. Si se sabe que
- $P(x)$ da resto $a$ cuando se divide por $x-a$;
- $P(x)$ da resto $b$ cuando se divide por $x-b$;
- $P(x)$ da resto $c$ cuando se divide por $x-c$;
pistasolución 1info
Pista. Si dividimos un polinomio $P(x)$ entre otro polinomio $Q(x)$, obtenemos un polinomio cociente $C(x)$ y otro polinomio resto $R(x)$ de grado menor que el grado de $A(x)$. Estos polinomios verifican $P(x)=C(x)Q(x)+R(x)$. Evaluando esta última igualdad en $a$, $b$ y $c$ se obtiene información interesante.
Solución. Según el teorema del resto, que $P(x)$ da resto $a$ cuando se divide por $x-a$ es lo mismo que decir que $P(a)=a$. De la misma manera, se tiene que $P(b)=b$ y $P(c)=c$. Ahora bien, al dividir entre $(x-a)(x-b)(x-c)$, podemos escribir
\[P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)C(x)+R(x),\]
donde $C(x)$ es el cociente y $R(x)$ el resto, que tiene grado menor o igual que $2$. Evaluando en $a$, $b$ y $c$, llegamos a que $a=P(a)=R(a)$, $b=P(b)=R(b)$ y $c=P(c)=R(c)$. Por lo tanto, $R(x)-x$ es un polinomio de grado menor o igual que $2$ que se anula en tres puntos ($x=a$, $x=b$ y $x=c$). Tiene que ser $R(x)-x=0$, luego el resto que nos piden es $R(x)=x$.
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