Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos usar la fórmula de De Moivre para expresar \[(\operatorname{sen}(1)+i\cos(1))^{90}=\operatorname{sen}(90)+i\cos(90)=1.\] Si ahora expandimos el miembro de la derecha usando el binomio de Newton, tenemos que \[1=(\operatorname{sen}(1)+i\cos(1))^{90}=\sum_{k=0}^{90}\binom{90}{k}\operatorname{sen}^k(1)i^{90-k}\cos^{90-k}(1).\] Si tomamos la parte real en ambos miembros de la igualdad anterior, todos los sumandos con $k$ impar desaparecen, luego podemos sustituir $k=2j$ (con $0\leq j\leq 45$) para llegar a que \begin{align*} 1=(\operatorname{sen}(1)+i\cos(1))^{90}&=\sum_{j=0}^{45}\binom{90}{2j}(-1)^{j+1}\operatorname{sen}^{2j}(1)\cos^{90-2j}(1)\\ &=\sum_{j=0}^{45}\binom{90}{2j}(-1)^{j+1}\operatorname{sen}^{2j}(1)(1-\operatorname{sen}^2(1))^{45-j}. \end{align*} Observemos que hemos sustituido $i^{90-2j}=(-1)^j$ y también hemos utilizado $\cos^2(1)=1-\operatorname{sen}^2(1)$, lo cual es posible porque todos los exponentes de los cosenos son pares. Esto nos da un polinomio con coeficientes enteros, una de cuyas raíces es $\operatorname{sen}(1)$.