Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Hay un total de $\binom{m+n}{n}=\binom{m+n}{m}$ casos posibles en cuanto a combinaciones de carga y descarga, ya que hay el mismo número de casos que posibles elecciones de un subconjunto de $n$ elementos (las descargas) de un conjunto de $m+n$ elementos (las escalas). Debemos ver cuántos de ellos conducen a sobrepasar la capacidad del avión.

Una apreciación importante es que al final del itinerario, el avión tendrá una carga de $m$ toneladas independientemente de cuál sea el orden de cargas y descargas, luego tiene que ser $m\leq k$ para que haya alguna posibilidad de que se complete el vuelo. En otras palabras, si $m\gt k$, entonces la probabilidad es $0$, por lo que supondremos que $m\leq k$ en lo que sigue a continuación.

Si la capacidad se sobrepasa en algún instante, entonces podemos considerar el momento en que se ha sobrepasado por primera vez. Si hasta ese punto se han hecho $m_1$ cargas y $n_1$ descargas, después tocan $m_2=m-m_1$ cargas y $n_2=n-n_2$ descargas en el itinerario previsto. Por ser el primer punto de sobrecarga, tendremos que se han producido justamente $k+1-n$ más cargas que descargas, es decir, $m_1-n_1=k+1-n$. En consecuencia, tenemos que \[n_1+m_2=n_1-m_1+m=m+n-k-1\] no depende del momento de sobrecarga ni del orden de cargas y descargas en todo el itinerario. Si consideramos los conjuntos

• Itinerarios desastrosos (en los cuales hay sobrecarga),
• subconjuntos de $m+n-k-1$ elementos del conjunto de $m+n$ elementos,

entonces hemos establecido una forma de asignarle a cada elemento del primer conjunto uno del segundo conjunto (puntos en los que se descarga hasta el primer punto de sobrecarga y después puntos en los que se carga). Esta asignación es biyectiva ya que a cada subconjunto de $m+n-k-1$ elementos le podemos asignar un itinerario desastroso: usamos los elementos del subconjunto como únicos puntos de descarga hasta que se produce el desastre y luego como los únicos puntos de carga. Por lo tanto, la probabilidad que nos piden es \[\begin{cases}\frac{\binom{m+n}{n}-\binom{m+n}{k+1}}{\binom{m+n}{n}}&\text{si }m\leq k,\\0&\text{si }m\gt k.\end{cases}\]