Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si un entero divide a $n$ y a $n-1$, entonces también divide a su diferencia $n-(n-1)=1$, luego no puede ser otro que $\pm 1$. Por tanto, en la fracción $\frac{n-1}{n}$, numerador y denominador no pueden tener ningún factor primo en común y la fracción es irreducible.

La fracción $\frac{n}{2n+1}$ se razona de forma similar ya que un entero que divide a numerador y denominador también debe dividir a cualquier combinación lineal de ambos con coeficientes enteros. En este caso, dividirá a $2\cdot n-(2n-1)=1$ y también ha de ser igual a $1$.

Finalmente, en el caso de la fracción $\frac{2n+1}{2n^2+2n}$, un factor común a numerador y denominador debe dividir a $2n^2+2n-n(2n+1)=n$. Utilizando ahora que divide a $2n+1$ y $n$, también debe dividir a $2n+1-2\cdot n=1$ y tenemos de nuevo el resultado.

Nota. Si $d$ es un divisor común a dos enteros $a$ y $b$, entonces también divide a $au+bv$ para cualesquiera $u,v\in\mathbb{Z}$.