Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si $x$ e $y$ son no negativos, entonces la primera ecuación queda $x^2+y^2=1$, lo que nos dice que ambos números están entre $0$ y $1$. Ahora la segunda ecuación, nos dice que uno de ellos tiene que ser igual a $1$ y el otro igual a cero pues, de no ser así, ambas partes enteras serían nulas. Tenemos así las dos soluciones $(0,1)$ y $(1,0)$.

Por otro lado, no pueden ser $x$ e $y$ ambos negativos ya que el miembro de la izquierda de la primera ecuación sería negativo, por lo que podemos suponer que $x$ es positivo e $y$ es negativo (el caso opuesto es análogo ya que sólo hay que cambiar $x$ por $y$). Como cualquier número es mayor o igual que su parte entera, la segunda ecuación nos dice en particular que \[x\geq\lfloor x\rfloor=1-\lfloor y\rfloor\gt 1-y\] y la primera nos dice que $x^2-y^2=1$, luego se tiene que $1+y^2=x^2\gt(1-y)^2$ y esto implica finalmente que $2y\gt 0$, lo que supone una contradicción.

Deducimos que no hay ninguna solución tal que $x$ e $y$ tengan distinto signo, luego $(0,1)$ y $(1,0)$ son las únicas.