Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos en primer lugar que $n$ es par. Entonces el único factor común a $n$ y $n+2$ es el $2$ y $n+1$ y $n+3$ son impares y no tienen factores comunes. Por lo tanto, $n+1$ y $n+3$ tienen que ser primos o potencias de primos (distintos). Distinguimos dos casos posibles:

• Si $n$ o $n+2$ son ambos potencias de $2$, tenemos necesariamente que $n=2$ y se cumple el enunciado, siendo los primos $2,3,5$.
• Si $n$ o $n+2$ no son ambos potencias de $2$, entonces uno de ellos sí que debe serlo y el otro $2$ por una potencia de un primo. Sin embargo, este último primo tiene que estar en la factorización de $n+1$ o $n+3$. Como $n$ y $n+2$ son primos relativos con $n+1$, no queda más remedio que el primo sea $3$ y sea común a $n$ y $n+3$. Tenemos así que $n=3\cdot 2^a$ y $n+2=2^b$. Estos dos números se diferencian en dos unidades, luego sólo uno de estos números es múltiplo de $4$, lo que nos lleva a que que $a=1$. Obtenemos así la solución $n=6$, que cumple el enunciado para los primos $2,3,7$.

Supongamos ahora que $n$ es impar. Un razonamiento similar al caso anterior nos dice que $n+1=2^a$ y $n+3=3\cdot 2^b$. De nuevo, como uno de estos dos números debe ser múltiplo de $2$ pero no de $4$, tiene que ser necesariamente $b=1$, luego $n=3$, que también verifica la condición del enunciado (para los primos $2,3,5$).

Por tanto, las únicas soluciones son $n=2$, $n=3$ y $n=6$.