Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En las coordenadas usuales del plano, pongamos que la elipse tiene ecuación $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ con $a,b\gt 0$ y que los vértices del rectángulo son $(\pm a,0)$ y $(\pm a,2b)$. Tomamos un punto $(x_0,y_0)$ que verifica la ecuación de la elipse con $y_0\lt 0$ y lo unimos con $(\pm a,2b)$, lo que nos da las rectas de ecuaciones $\frac{x-x_0}{\pm a-x_0}=\frac{y-y_0}{2b-y_0}$. Cortando estas rectas con el eje mayor $y=0$, obtenemos los puntos de abscisas \[x_1=\frac{2bx_0+ay_0}{2b-y_0},\qquad x_2=\frac{2bx_0-ay_0}{2b-y_0}.\] Notemos que $x_1\lt x_2$ por ser $y_0\lt 0$. Por tanto, el eje mayor queda dividido en tres segmentos, que tienen longitudes \begin{align*} \ell_1&=x_1-(-a)=\frac{2b(a+x_0)}{2b-y_0},\\ \ell_2&=x_2-x_1=\frac{-2ay_0}{2b-y_0},\\ \ell_3&=a-x_2=\frac{2b(a-x_0)}{2b-y_0}. \end{align*} Observemos ahora que $\ell_1+\ell_3=2\ell_2$ se reduce a $y_0=-b$, lo que nos dice que en este caso el punto de la elipse es el extremo del semieje menor más alejado del rectángulo. Por otro lado, si ocurriera que $\ell_1+\ell_2=2\ell_3$, se tendría que $3\frac{x_0}{a}-\frac{y_0}{b}=1$; si a esto le unimos la condición $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$, obtenemos la solución $(0,-b)$ y $(\frac{3a}{5},\frac{4b}{5})$, si bien esta última hay que descartarla porque no es exterior al rectángulo. Finalmente, si $\ell_2+\ell_3=2\ell_1$, llegamos a que $\frac{y_0}{b}+3\frac{x_0}{a}=-1$, y esto nos lleva a las soluciones $(0,-b)$ y $(\frac{-3a}{5},\frac{4b}{5})$. De nuevo hay que descartar la segunda.

Deducimos así que el único punto de la elipse que cumple la condición propuesta es el vértice del semieje menor más alejado del rectángulo.