Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sumando todas las ecuaciones y agrupando los términos de primer grado, obtenemos \[x_1^2+(a-1)x_1+(\tfrac{a-1}{2})^2+x_2^2+(a-1)x_2+(\tfrac{a-1}{2})^2+\ldots+x_n^2+(a-1)x_n+(\tfrac{a-1}{2})^2=0,\] que puede reescribirse como \[(x_1+\tfrac{a-1}{2})^2+(x_2+\tfrac{a-1}{2})^2+\ldots+(x_n+\tfrac{a-1}{2})^2=0.\] Si una suma de cuadrados es igual a cero, entonces todos los sumandos deben ser cero, por lo que tenemos la única solución posible \[x_1=x_2=\ldots=x_n=\tfrac{1-a}{2},\] que se comprueba fácilmente que verifica el sistema de ecuaciones dado.