Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamando $a$ a la hipotenusa y $b$ y $c$ a los catetos, el área del triángulo se puede calcular como $\frac{1}{2}bc$ (ya que los catetos hacen de base y altura) y también como $\frac{1}{2}r(a+b+c)$, luego se cumple que $r=\frac{bc}{a+b+c}$. Las distancias de $I_1$ e $I_2$ a $AD$ son los radios inscritos de los triángulos $ABD$ y $ACD$, que son semejantes a $ABC$ con razones de semejanza $\frac{c}{a}$ y $\frac{b}{a}$, respectivamente. Por lo tanto, la condición del enunciado se puede escribir como \[\frac{c}{a}r+\frac{b}{a}r=\frac{a}{4}\ \Longleftrightarrow\ 4bc(b+c)=a^2(a+b+c).\] Dividiendo ambos miembros por $a^3$ y teniendo en cuenta que $\frac{b}{a}=\cos\theta$ y $\frac{c}{a}=\operatorname{sen}\theta$ (siendo $\theta=\angle ACB$), obtenemos que \[4\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta (\cos\theta+\operatorname{sen}\theta)=1+\cos\theta+\operatorname{sen}\theta.\] Como hay términos de grado $3$ en seno y coseno, intentaremos introducir los senos y cosenos de $3\theta$, que vienen dados por \[\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta,\qquad \operatorname{sen}(3\theta)=-\operatorname{sen}^3\theta+3\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta. \] Entonces, podemos desarrollar \begin{align*} 4\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta (\cos\theta+\operatorname{sen}\theta)&=\cos\theta(1-\cos^2\theta)+\operatorname{sen}\theta\,(1-\operatorname{sen}^2\theta)+3\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta+3\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta\\ &=\cos\theta+\operatorname{sen}\theta-\cos(3\theta)+\operatorname{sen}(3\theta). \end{align*} Utilizando esta última identidad, podemos expresar la ecuación que teníamos como \[\operatorname{sen}(3\theta)-\cos(3\theta)=1.\] Utilizando la fórmula del seno de una suma para desarrollar $\operatorname{sen}(3\theta-45)$, llegamos a que la ecuación se puede a su vez reescribir como \[\operatorname{sen}(3\theta-45)=\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}(3\theta)-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(3\theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}.\] Tenemos así que $3\theta-45=45+360k$ o bien $3\theta-45=135+360k$ para cierto entero $k$. En otras palabras, $\theta=30+120k$ o bien $\theta=60+120k$. Como las únicas soluciones que nos interesan son las que se encuentran en el intervalo $[0,90]$, deducimos que necesariamente el triángulo del enunciado tiene ángulos de $30$, $60$ y $90$.