Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El número $3^a+3^b+3^c$ es impar, luego si fuera un cuadrado perfecto sería congruente con $1$ módulo $8$. Ahora bien, módulo $8$, $3^n$ es igual a $1$ si $n$ es par o a $3$ si $n$ es impar. Esto nos dice que $3^a+3^b+3^c$ es la suma de tres números, cada uno igual a $1$ o $3$ y el resultado tiene que ser $1$ módulo $8$. La única posibilidad es que $3^a,3^b,3^c$ sean los tres congruentes con $3$, es decir, que $a,b,c$ sean los tres impares.

Si ponemos que $a\leq b\leq c$ sin perder generalidad, entonces podemos sacar factor común $3^a$ y escribir el número como $3^a(1+3^{b-a}+3^{c-a})$. Como $a$ es impar, $1+3^{b-a}+3^{c-a}$ tiene que ser múltiplo de $3$ para obtener un cuadrado perfecto (tiene que haber un número par de factores $3$), pero esto sólo ocurre cuando $3^{b-a}=3^{c-a}=1$. Por lo tanto, deducimos que tiene que ser $a=b=c$ y todos impares. Está claro que si $a=b=c=2k-1$, entonces $3^a+3^b+3^c=3\cdot 3^{2k-1}=3^{2k}=(3^k)^2 es un cuadrado perfecto, luego hemos encontrado todas las soluciones.