Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $\alpha,\beta,\gamma$ los ángulos del triángulo en los vértices $A,B,C,$, respectivamente. Entonces, se tiene que $\angle BAI=\frac{\alpha}{2}$ y $\angle ABI=\frac{\beta}{2}$ por ser $AI$ y $BI$ bisectrices. Esto nos lleva a que \[\angle KIB=\angle AIB=180^\circ-\angle BAI-\angle ABI=180^\circ-\tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2}.\] El cuadrilátero $KIDB$ es cíclico luego sus ángulos opuestos suman $180^\circ$, de donde deducimos que $\angle KCD=\tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2}$. Ahora bien, por la propiedad del arco capaz en la circunferencia circunscrita a $ABC$, obtenemos que $\angle BCD=\angle BAC=\frac{\alpha}{2}$, luego \[\angle KCB=\angle KCD-\angle BCD=\tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2}-\tfrac{\alpha}{2}=\tfrac{\beta}{2}=\angle KBC.\] Esto nos dice que $BKC$ es isósceles, como queríamos demostrar.