Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 2774
En el cuadrilátero $ABCD$ se sabe que $\angle BAD=100^\circ$, $\angle BCD=130^\circ$ y que $AB=AD=1$. Determinar la longitud de la diagonal $AC$.
pistasolución 1info
Pista. Fíjate en que se pueden construir muchos cuadriláteros con esas medidas pero que $AC$ no va a depender de cuál de ellos se elija.
Solución. Consideremos la circunferencia $\Gamma$ de centro $A$ de radio $1$ (que pasa por $B$ y $D$). El segmento $BD$ tiene un ángulo central de $100^\circ$, luego un ángulo inscrito en $\Gamma$ cuyos extremos $B$ y $D$ tiene ángulo $50^\circ$ o $130^\circ$, dependiendo si está en el arco menor $BD$ o en el arco mayor. Como $\angle BCD=130^\circ$, se deduce así que $C$ está en el arco menor $BD$ y en particular en $\Gamma$. Por lo tanto, $AC=1$.
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