Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

• Las ternas $(b,d,\ell)$ o $(B,d,\ell)$ son complementarias y cada una de ellas ya de por sí forman un triángulo en la figura, luego si elegimos una de las dos, el resultado se cumple.
• La ternas $(d,d,B)$, $(d,d,b)$ y $(d,d,\ell)$ también pueden usarse para formar un triángulo (porque las diagonales ya se cortan, ¿sabrías justificarlo rigurosamente con la desigualdad triangular?), luego si elegimos estas o las complementarias $(\ell,\ell,b)$, $(\ell,\ell,B)$ o $(\ell,B,d)$, también se cumple el resultado.
• Esencialmente, solo hay otra elección, que es una de las ternas complementarias $(\ell,\ell,d)$ o $(B,b,d)$. Será suficiente ver que si $(\ell,\ell,d)$ no forma un triángulo, entonces lo formará $(B,b,d)$. Como el triángulo formado por $(B,d,\ell)$ es obtusángulo, se tiene que $d\gt\ell$, luego de los tres lados $(\ell,\ell,d)$, el mayor es $d$. Esto nos dice que si $(\ell,\ell,d)$ no forma triángulo es porque $d\gt 2\ell$ por la desigualdad triangular (ver la nota). Ahora bien, la desigualdad triangular en el triángulo de lados $(B,\ell,d)$ nos dice que $B+\ell\geq d\gt 2\ell$, luego $B\gt\ell$. Tenemos así que \begin{align*} B+b\gt \ell+b&\gt d&&\text{por la desigualdad triangular en }(b,\ell,d),\\ b+d\gt b+2\ell\gt\ell+d&\gt B&&\text{por la desigualdad triangular en }(b,\ell,d)\text{ y }(B,\ell,d). \end{align*} Tanto si $B$ es el lado más grande en $(B,b,d)$ como si lo es $d$, tenemos que se cumple el recíproco de la desigualdad triangular, luego la terna $(B,b,d)$ se puede usar para formar un triángulo y hemos concluido la demostración.

Nota. En la solución hemos usado el recíproco de la desigualdad triangular, que nos dice que si $a\leq b\leq c$ son tres longitudes, entonces habrá un triángulo con estos tres lados si y solo si $c\leq a+b$.