Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El número $p$ tiene que ser primo ya que $4x^2+p$ tiene que ser primo para $x=0$. También podemos suponer que $p$ es impar ya que $p=2$ no cumple la condición ($f(1)=6$ no es primo para $x=1$ y $p=2$). Ahora bien, todo primo impar cae en uno de los siguientes cuatro casos:

• $p$ es de la forma $4k+1$ con $k\geq 1$. Tomando $x=k$, tenemos que \[4x^2+p=4k^2+4k+1=(2k+1)^2.\] Los factores $2k+1$ son mayores o iguales que $3$, luego $4x^2+p$ es un número compuesto.
• $p$ es de la forma $8k+3$ con $k\geq 0$. Tomando $x=k$ de nuevo, tenemos \[4x^2+p=4k^2+8k+3=(2k+1)(2k+3)\] también es compuesto excepto si $k=0$, lo que nos deja como única posibilidad el primo $p=3$. En tal caso, tenemos que $f(0)=3$, $f(1)=7$, $f(2)=19$ son todos primos.
• $p$ es de la forma $16k+7$ con $k\geq 0$. Volviendo a tomar $x=k$, tenemos \[4x^2+p=4k^2+16k+7=(2k+1)(2k+7)\] también es compuesto salvo si $k=0$, lo que nos da $p=3$. En tal caso, los valores de $f$ son $7,11,23,43,71,107,151$ y son todos primos.
• $p$ es de la forma $16k+15$ con $k\geq 1$. Una vez más $x=k$ nos da \[4x^2+p=4k^2+16k+15=(2k+3)(2k+5),\] que es compuesto siempre.

Deducimos así que las únicas soluciones son $p=3$ y $p=7$.