Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. No puede haber dos de los primos que sean iguales. Por ejemplo, si $p=q$, entonces el cuadrado queda $(p^2+p)^2(r^2+r)$, luego $r^2+r$ tendría que ser a su vez cuadrado perfecto, pero está estrictamente entre dos cuadrados consecutivos ($r^2$ y $(r+1)^2=r^2+2r+1$). Podemos suponer entonces que $p\lt q\lt r$ sin pérdida de generalidad.

Factorizamos el número del enunciado como \[p(p+1)q(q+1)r(r+1)=n^2.\] Como $r$ es primo y divide a $n^2$, también lo dividirá $r^2$. En otras palabras, alguno de los factores $p,p+1,q,q+1,r+1$ tendrá que ser divisible por $r$. No obstante, $r+1$ no lo es por diferir en una unidad con $r$ y los otros factores $p,p+1,q,q+1$ no pueden tener un factor primo mayor que ellos mismos salvo que $p+1$ o $q+1$ fueran también primos, pero esto último nos diría que $r=3$ y $p=2$ o $q=2$, luego los primos no serían distintos, como hemos supuesto.