Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Los términos de la izquierda se pueden factorizar como diferencia de cuadrados y los de la derecha también se pueden factorizar como \[xz+yz+x+z=(x+y)(z+1),\qquad yx+zx+y+z=(y+z)(x+1),\qquad zy+xz+z+x=(z+x)(y+1).\] Por lo tanto, se puede sacar factor común en cada ecuación y reescribir el sistema como \[\left\{\begin{array}{l}(x-y-2z-2)(x+y)=0,\\ (y-z-2x-2)(y+z)=0,\\ (z-x-2y-2)(z+x)=0.\end{array}\right.\] Si $x+y=0$, entonces la primera ecuación se cumple y la segunda y la tercera quedan $(z+3x+2)(z-x)=0$ y $(z+x-2)(z+x)=0$, respectivamente. En vista de la tercera, distinguimos entre $z=-x$, que nos lleva a $x=-1$ o $x=0$ en la segunda (y, por tanto, a las soluciones $(-1,1,1)$ y $(0,0,0)$), y $z=-x+2$, que nos lleva a $x=1$ o $x=-2$ en la segunda (y, por tanto, a las soluciones $(1,-1,1)$ y $(-2,2,4)$).

Los casos $y+z=0$ y $x+z=0$ se razonan de forma similar y nos dan las soluciones $(0,0,0)$, $(-1,1,1)$, $(1,-1,1)$, $(1,1,-1)$, $(-2,2,4)$, $(4,-2,2)$ y $(2,4,-2)$ luego podemos suponer que $x+y$, $y+z$ y $z+x$ son todos no nulos. Esto nos deja entonces con el sistema lineal \[\left\{\begin{array}{l}x-y-2z=2,\\y-z-2x=2,\\z-x-2y=2,\end{array}\right.\] que tiene solución única $(-1,-1,-1)$. Hemos obtenido así las ocho soluciones del sistema.