Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Ana y Betty visitan un parque nacional que consiste en una red de caminos que conectan $N$ estaciones, siendo $N\gt 1$ un entero. Entre dos estaciones consecutivas siempre hay dos caminos que las conectan, tal y como se muestra en la figura. Juegan de la siguiente manera:

• Ana y Betty empiezan en puntos opuestos del parque.
• Cada hora, cada una de ellas elige uno de los dos o cuatro caminos que salen de la estación en la que están y se desplazan hasta la estación adyacente. Cuando llegan, cada una le manda un mensaje a la otra indicándole la estación a la que ha llegado y espera a la siguiente hora para moverse de nuevo.
• Betty gana si consigue cruzar al extremo opuesto del parque. Ana gana si se encuentra con Betty en uno de los caminos o en una estación antes de que Betty gane.

Resulta que Betty conoce a Ana muy bien y puede siempre predecir de forma exacta qué camino va a tomar. Para cada valor de $N$, determinar cuál de las dos amigas tiene una estrategia ganadora y describirla.