Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Usando la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los números $1+x_1,1+x_2,\ldots,1+x_n$, obtenemos que \[\frac{2026}{\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}}\leq \frac{(1+x_1)+(1+x_2)+\ldots+(1+x_{2026})}{2026}=2,\] de donde deducimos que \[\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}\geq\frac{2026}{2}=1013.\] La igualdad se únicamente alcanza cuando todos los números son iguales, luego el mínimo de la expresión del enunciado es $1013$.

Veamos ahora que su máximo se alcanza cuando todos los números son cero salvo únicamente uno de ellos. En efecto, si hay dos números que son distintos de $0$, pongamos que $x_i,x_j>0$, entonces \[\frac{1}{1+x_i}+\frac{1}{1+x_j}=\frac{2+x_i+x_j}{1+x_i+x_j+x_ix_j}>\frac{2+x_i+x_j}{1+x_i+x_j}=\frac{1}{1+x_i+x_j}+\frac{1}{1+0}.\] Esto nos dice que podemos cambiar $x_i$ por $x_i+x_j$ y $x_j$ por $0$ para obtener una suma mayor (manteniendo la suma de los $2026$ números). Podemos repetir este proceso para hacer que todos los números sean $0$ salvo uno de ellos, que debe ser igual a $2026$. Por lo tanto, el máximo nos lo da la desigualdad \[\frac{1}{1+x_1}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}\leq\frac{1}{1+0}+\ldots+\frac{1}{1+0}+\frac{1}{1+2026}=2025+\frac{1}{2027}.\]

Nota. El máximo también puede obtenerse usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la de Jensen (aplicada a la función $f(t)=\frac{1}{1+t}$, que es convexa para $t\gt -1$).