Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos en primer lugar que no pueden ser uno de los números par y otro impar ya que entonces uno de los dos factores sería un impar mayor que $1$. Además, si $a$ y $b$ fueran pares, entonces dividiendo ambos entre $2$, tendríamos otra solución. Todo esto nos dice que podemos suponer que $a$ y $b$ son impares, aunque luego tendremos que multiplicar las soluciones obtenidas por una potencia de $2$ arbitraria.

Ahora bien, $a+3b$ y $b+3a$ deben ser potencias de $2$, luego el problema se reduce al sistema lineal \[\left\{\begin{array}{l}a+3b=2^n,\\b+3a=2^m.\end{array}\right.\] El sistema es compatible determinado y podemos despejar fácilmente \[a=3\cdot 2^{m-3}-2^{n-3},\qquad b=3\cdot 2^{n-3}-2^{m-3}.\] Por un lado, si $m=n=2$, obtenemos la solución $a=b=1$. En otro caso, podemos suponer que $m\geq n\geq 3$. Para que $a$ y $b$ sean impares, tiene que ser $n=3$ y $m\geq 4$, lo que nos da $b=3-2^{m-3}$ y esto lleva necesariamente a que $m=4$ ya que $b$ es positivo, de donde se deduce la solución $(a,b)=(5,1)$. También tendríamos $(a,b)=(1,5)$ por simetría.

Juntando todo lo anterior, llegamos a que \[(a,b)=(2^k,2^k),\qquad (a,b)=(2^k,5\cdot 2^k)\quad\text{o bien}\quad (a,b)=(5\cdot 2^k,2^k)\] para algún entero no negativo $k$.