Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos la siguiente identidad \[3(25x+31y)-25(3x+7y)=-82y,\] que se obtiene al eliminar $x$ mediante una combinación de los dos binomios. Observemos que $-82y$ es múltiplo de 41, luego tenemos dos implicaciones:

• Si $25x+31y$ es múltiplo de 41 también lo será $25(3x+7y)$ y, como $25$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $3x+7y$.
• Si $3x+7y$ es múltiplo de 41, también lo será $3(25x+31y)$ y, como $3$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $25x+31y$.

Hemos demostrado que $25x+31y$ es múltiplo de 41 si, y sólo si, $3x+7y$ es múltiplo de 41, que es lo que se pide en el enunciado.

Nota. También se podría haber eliminado $y$ obteniendo la igualdad \[7(25x+31y)-31(3x+7y)=82x,\] y el razonamiento a partir de aquí es similar.