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Problema 2793
Para cada entero positivo $n$, sea $a(n)$ un entero tal que $n$ es múltiplo de todos los enteros $1,2,\ldots,a(n)$ pero no es múltiplo de $a(n)+1$. Si $a(n)$ es un cubo perfecto, demostrar que entonces $a(n+2520)$ también es un cubo perfecto.
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Pista. Tienes que todos los números $1,2,\ldots,k^3$ dividen a $n$ pero $k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$ no lo hace.
Solución. Pongamos que $a(n)=k^3$ para cierto entero positivo $k$, luego todos los números $1,2,\ldots,k^3$ dividen a $n$ pero no lo hace $k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$. Distinguimos tres casos:
- Si $k=1$, entonces $2$ no divide a $n$, luego $n$ es impar. Entonces $n+2520$ también es impar, luego $a(n+2520)=1$ también es un cubo perfecto.
- Si $k=2$, entonces $k^3+1=9$ no divide a $n$, luego tampoco divide a $n+2520$ ($2520$ es múltiplo de $9$). Como todos los números del $1$ al $8$ dividen tanto a $n$ como a $n+2520$, tenemos entonces que $a(n+2520)=a(n)=8$.
- Si $k\geq 3$, llegaremos a una contradicción y habremos terminado. Podemos expresar $k^2-k+1=(k-2)(k+1)+3$, luego $d=\operatorname{mcd}(k+1,k^2-k+1)$ es igual a $1$ o a $3$. Si fuera $d=1$, entonces $k+1$ y $k^2-k+1$ serían números entre $1$ y $k^3$ y primos relativos. Como $n$ es múltiplo de todos los números entre $1$ y $k^3$, también es múltiplo de $k^3+1$, contradiciendo la definición de $a(n)$. Si $d=3$, entonces $k^3+1$ solo tiene un tres más en su factorización que $k+1$ o $k^2-k+1$. Como $n$ es múltiplo de $3(k+1)\leq k^3$ y de $3(k^2-k+1)\lt (k+1)(k^2-k+1)$ (aquí se usa que $k\geq 3$), se deduce también en este caso que $k^3+1$ debe dividir a $n$, en contradicción de nuevo con la definición de $a(n)$.
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