Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una pizarra están escritos $2026$ enteros mayores que $1$, no necesariamente distintos. En cada paso, Confucio elige dos enteros $m\gt 1$ y $n\gt 1$ de diferentes lugares de la pizarra y los reemplaza por: \[ \operatorname{mcd}(m, n) \quad \text{y} \quad \frac{\operatorname{mcm}(m, n)}{\operatorname{mcd}(m, n)}. \] Continúa realizando estos pasos mientras sea posible.

1. Demostrar que, independientemente de las elecciones de Confucio, después de un número finito de pasos, exactamente un entero $M$ en la pizarra es mayor que $1$.
2. Demuestra que el valor de $M$ no depende de las elecciones de Confucio.