Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Cualquier cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $3$. Por lo tanto, la ecuación solo es factible módulo $3$ si $a\equiv 0\ (\text{mod }3)$ y $b\equiv 0\ (\text{mod }3)$. Esto nos dice que podemos escribir $a=3x$ y $b=3y$ para ciertos $x,y\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo, llegamos a que $9x^2=18y^2+3c^2$, luego $c^2=3x^2-6y^2$ debe ser también múltiplo de $3$, es decir, existe $z\in\mathbb{Z}$ tal que $c=3z$ y llegamos a otra solución de la misma ecuación: $x^2=2y^2+3z^2$.

Vamos a ver que esto implica que $a=b=c=0$. En efecto, si alguno de los tres números $a,b,c\in\mathbb{Z}$ es no nulo, entonces podríamos haber comenzado suponiendo que la solución $(a,b,c)$ es tal que la suma $a^2+b^2+c^2\gt 0$ es lo más pequeña posible (de entre todas las soluciones no nulas habrá una que cumpla esto), pero entonces $(x,y,z)$ es una solución con \[x^2+y^2+z^2=\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)\lt a^2+b^2+c^2,\] en contradicción con el hecho de que $a^2+b^2+c^2$ es mínimo. Esto es lo que se llama técnica del descenso infinito o principio de minimalidad.