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Problema 310
ASU, 1961-P3
Probar que entre $39$ números naturales consecutivos, siempre existe uno tal que la suma de sus cifras es múltiplo de $11$.
pistasolución 1info
Pista. Encuentra $k$ tal que los números entre $10k$ y $10k+19$ estén entre los $39$ consecutivos y tal que las sumas de los dígitos de estos $20$ números recorran todos los restos módulo $11$.
Solución. Entre los $39$ números siempre hay $20$ consecutivos $n,n+1,\ldots,n+19$ que sólo difieren en las cifras de las decenas y las unidades y de forma que la cifra de la cifra de las unidades de $n$ es cero. Si $a$ es la suma de las cifras de $n$, entonces las sumas de las cifras de $n,n+1,\ldots,n+19$ son $a,a+1,\ldots,a+9,a+1,\ldots,a+10$, respectivamente, y alguno de estos números ha de ser múltiplo de $11$.
Nota. Un ejemplo de que el resultado no es cierto para $38$ números son los números del $999981$ al $1000018$.
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