Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En primer lugar, tenemos que $f(x)+f(1-x)\leq f(x+1-x)=f(1)=1$, luego $f(x)\leq 1-f(1-x)\leq 1$ para todo $x\in[0,1]$. En particular, $f(x)\leq 1\leq 2x$ para todo $x\geq \frac{1}{2}$, así que supondremos a partir de ahora que $x\lt\frac{1}{2}$.

Para ello, observemos que $f(nx)\geq nf(x)$ para todo entero positivo $n$ tal que $nx\in[0,1]$ (sin más que aplicar la tercera propiedad del enunciado reiteradamente). Tomemos entonces $n\geq 2$ tal que $\frac{1}{n+1}\leq x\lt\frac{1}{n}$, con lo que $nf(x)\leq f(nx)\leq 1$. Por tanto, \[f(x)\leq\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n(n+1)}\leq\frac{n+1}{n}x=\left(1+\frac{1}{n}\right)x\leq\left(1+\frac{1}{2}\right)x=\frac{3}{2}x\leq 2x.\]

Finalmente, vamos a probar que la respuesta a la última pregunta es negativa (en realidad, no puede sustituirse $2$ en la desigualdad $f(x)\leq 2x$ por otra constante menor). Como contraejemplo sirve la función definida a trozos: \[f:[0,1]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\begin{cases}2x&\text{si }0\leq x\lt\frac{1}{2},\\1&\text{si }\frac{1}{2}\leq x\leq 1.\end{cases}\] Es fácil ver que cumple las condiciones del enunciado (los detalles se dejan al lector), mientras que $f(\frac{1}{2})=2\cdot\frac{1}{2}$, luego $2$ no puede sustituirse por $1,\!9$.