Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Las caras son 12 polígonos que tienen 5 lados cada uno (un total de $12\cdot 5=60$ lados). En esta suma de lados tenemos cada arista contada por duplicado, lo que hace un total de $30$ aristas. Como tres de ellas concurren en cada vértice y cada arista une dos vértices, tendremos un total de $2\cdot\frac{30}{3}=20$ vértices.

Cada cara tiene 5 diagonales, lo que hace un total de $5\cdot 12=60$ diagonales de todas las caras. Cada par de vértices determina un segmento, luego habrá $\binom{20}{2}=190$ segmentos determinados por cada dos vértices. Finalmente, el número de diagonales del dodecaedro será igual a este número de segmentos descontando las diagonales de las caras y las aristas del poliedro, es decir, $190-60-30=100$.

Nota. Podemos comprobar que se cumple la fórmula de Euler \[C-A+V=2,\] donde $C=12$, $A=30$ y $V=20$ son el número de caras, aristas y vértices, respectivamente.