Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $a$, $b$ y $c$ el número de rectas en cada familia. La primera familia divide al plano en $a+1$ regiones y, al añadirle la segunda familia, dividen al plano en $(a+1)(b+1)$ regiones. Ahora bien, cada recta de la tercera familia corta a las otras $a+b$ rectas de las dos primeras, luego corta a $a+b+1$ regiones. En otras palabras, cada una de las $c$ rectas de la tercera familia produce $a+b+1$ nuevas regiones, por lo que el número total de regiones que delimitan las tres familias juntas está dado por \[n=(a+1)(b+1)+c(a+b+1)=a+b+c+ab+bc+ac+1.\] Llamemos $s=a+b+c$ al número total de rectas y acotemos $n$ en función de $s$. Para ello, observamos que \[s^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\geq 3(ab+bc+ac)\] ya que la desigualdad de reordenación nos asegura que $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$. Deducimos que \[n\leq s+\frac{s^2}{3}+1.\] El miembro de la derecha es una función creciente de $s$ y \[s+\frac{s^2}{3}+1=1999 \Leftrightarrow\ s=\frac{3}{2}(-1+\sqrt{2665})\approx 75,94\] (nos quedamos sólo con la solución positiva). Por tanto, si $s\leq 75$ el número máximo de regiones es menor o igual que $1999$, luego el número buscado es $s\geq 76$. Para ver que $s=76$ es válido, busquemos un ejemplo. Tomando $a=24$, $b=26$ y $c=26$ obtenemos que \[n=24+26+26+24\cdot 26+26\cdot 26+24\cdot 26+1=2001\gt 1999,\] luego el mínimo número de rectas necesarias es $76$.