Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Probaremos por inducción que José tiene una estrategia tal que, para todo $n\geq 0$, la primera vez que hay $4n+2$ puntos utilizados, José ha sido el último en jugar. Como $98$ es de la forma $4n+2$, esto nos dice que José tiene una estrategia ganadora.

El caso base de inducción es $n=0$, que se cumple ya que, coloque donde coloque José, habrá $4\cdot 0+2=2$ puntos utilizados y él ha sido el último en jugar. Supongamos entonces que después de jugar José, hay $4n+2$ puntos utilizados y demostremos que, después de cierto número de jugadas de ambos jugadores, habrá $4n+6$ puntos utilizados y José habrá sido el último en jugar. La forma de proceder de José después de cada jugada de María es la siguiente:

• Si después de la jugada de María sigue habiendo $4n+2$ puntos utilizados (María ha unido dos que ya habían sido utilizados), entonces José une uno ya utilizado con otro no utilizado previamente y ahora hay $4n+3$ utilizados.
• Si después de la jugada de María hay $4n+3$ puntos utilizados, entonces José une dos que ya hayan sido utilizados previamente y siguen quedando $4n+3$ utilizados.
• Si después de la jugada de María hay $4n+4$ puntos utilizados, entonces José une dos que ya no hayan sido utilizados hasta el momento, quedando utilizados $4n+6$.
• Si después de la jugada de María hay $4n+5$ puntos utilizados, entonces José une uno que no haya sido utilizados con otro que sí y quedan utilizados $4n+6$.

Está claro que José puede hacer siempre utilizar puntos no utilizados, luego sólo habrá que justificar que si después de la jugada de María hay $4n+3$ puntos utilizados, entonces quedan dos de ellos que no han sido unidos y José puede unirlos. El número de uniones posibles entre $4n+3$ puntos está dado por $(4n+3)(2n+1)$, que es un número impar. Como José siempre juega en los turnos impares, no puede ser María la que complete todas las uniones posibles entre los $4n+3$ puntos.

Finalmente, observemos que María en su turno nunca se le presentan $4n+4$ ni $4n+5$ puntos utilizados, luego no puede ser la primera en utilizar los $4n+6$ puntos, lo que demuestra que esta es la estrategia ganadora para José.

Nota. Este es un problema que admite muchas discusiones de casos y aproximaciones ligeramente distintas. La solución arriba presentada tiene la ventaja de que se puede adaptar para cualquier número de la forma $4n+2$ en lugar de $98$.