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Problema 376
OIM, 1998-P1
Se dan 98 puntos sobre una circunferencia. María y José juegan alternativamente de la siguiente forma: cada uno de ellos traza un segmento uniendo dos de los puntos que no hayan sido unidos entre sí anteriormente. El juego termina cuando los 98 puntos han sido usados como extremos de un segmento al menos una vez, siendo el vencedor quien dibuja el último trazo. Si José inicia el juego, ¿quién puede asegurarse la victoria?
pistasolución 1info
Pista. En cuanto alguno de los dos jugadores deja uno o dos puntos sin usar, gana el otro jugador.
Solución. La estrategia ganadora es para José, que sólo tiene que seguir las siguientes instrucciones cuando le toca su turno:
  • Si se trata del primer turno, une dos puntos cualesquiera.
  • Si encuentra $94$ o menos puntos usados, une cualquier punto usado con uno sin usar.
  • Si encuentra exactamente $95$ puntos usados, entonces une dos ya usados que no estuvieran unidos previamente.
  • Si encuentra exactamente $96$ puntos usados, entonces une los dos restantes (y gana). Análogamente, si encuentra $97$ puntos usados, une el que falta con otro cualquiera (y gana también).

La demostración de que esta estrategia permite ganar es que José nunca deja $96$ o $97$ puntos usados tras su turno. Esto es a su vez consecuencia de cuando encuentra $95$ puntos usados siempre puede unir dos que previamente no estuvieran unidos ya que el número de segmentos que estos determinan es $\binom{95}{2}=95\cdot 47$, que es impar.

Nota. Este es un problema que admite muchas discusiones de casos y aproximaciones ligeramente distintas. La solución se puede adaptar para cualquier número de la forma $4n+2$ en lugar de $98$.

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