Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El problema es equivalente a encontrar los números naturales tales que \((n-1)!\) no es divisible por \(n\). Si \(n\) es primo, entonces \((n-1)!\) no es divisible por \(n\) ya que todos los factores primos de \((n-1)!\) son menores que \(n\). Por el contrario, si \(n\) no es primo, podremos expresarlo como \(n=ab\) para \(a,b\in\mathbb{N}\) tales que \(1\lt a,b\leq n-1\) y distinguimos dos casos. Si \(a\neq b\), entonces \(a\) y \(b\) son dos factores de \((n-1)!\) luego \(n=ab\) divide a \((n-1)!\). Si \(a=b\), como \(a\geq 2\), tenemos que \(2a\leq a^2=n\): si \(2a\lt n\), entonces \((n-1)!=1\cdot2\cdots a\cdots2a\cdots(n-1)\) es divisible por \(a^2=n\) y, si \(2a=n=a^2\), entonces \(a=2\) y \(n=4\), que no divide a \(3!=6\). Deducimos que los números para los que \(n!\) no es divisible por \(n^2\) son \(4\) y todos los números primos.