Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Tomando $x=f(y)$ en la ecuación del enunciado, llegamos a que \[f(f(y))=\frac{f(0)-1-f(y)^2}{2}.\] Si probáramos que $f$ es sobreyectiva, podríamos escribir cualquier $z\in\mathbb{R}$ como $z=f(y)$ y la igualdad anterior nos diría que $f(z)=\frac{f(0)+1-z^2}{2}$. Sustituyendo en la ecuación inicial esta función, tendríamos que $f(0)=1$, con lo que la única solución sería $f(z)=1-\frac{z^2}{2}$ para todo $z\in\mathbb{R}$. No obstante, esta solución no es sobreyectiva, lo que nos dice que esta no es una aproximación válida y tendremos que trabajar un poco más.

Dado $z\in\mathbb{R}$, consideremos los números \[r=\frac{z+1-f(f(0))-f(0)^2}{f(0)},\qquad s=\frac{z+1-f(f(0))}{f(0)}.\] Estos dos números están bien definidos ya que, si ocurriera que $f(0)=0$, entonces haciendo $x=y=0$ la ecuación original quedaría $0=-1$ (contradicción). Es fácil ver que, sustituyendo $x=r$ e $y=0$ en la ecuación original tenemos que $z=f(r)-f(s)$, luego, tomando $x=f(r)$ e $y=s$ en dicha ecuación, llegamos a que \begin{eqnarray} f(z)=f(f(r)-f(s))&=&f(f(s))+f(r)f(s)+f(f(r))-1\\ &=&\frac{f(0)-1-f(s)^2}{2}+f(r)f(s)+\frac{f(0)-1-f(r)^2}{2}\\ &=&f(0)-\frac{(f(r)-f(s))^2}{2}=f(0)-\frac{z^2}{2}. \end{eqnarray}

Por tanto, $f(z)=f(0)-\frac{z^2}{2}$ para todo $z\in\mathbb{R}$. Sustituyendo en la ecuación original vemos que sólo el caso $f(0)=1$ la cumple, luego $f(z)=1-\frac{z^2}{2}$ es la única solución.